幾何学 ||||{Riemann 微分幾何学

(1)

微分幾何学

————–

Riemann 幾何学

田崎博之

2018

年度

(2)

数学類微分幾何学 Diﬀerential Geometry

授業概要

Riemann幾何学の基本事項について解説する。

(3)

第 1 _{章テンソル場}

1.1 _{テンソル代数}

定義 1.1.1 有限次元実ベクトル空間V に対して、V から実数Rへの線形写像の

全体をV^∗で表し、V の双対ベクトル空間と呼ぶ。V^∗はRの和と積から自然に定まる演算によってベクトル空間の構造を持つ。v ∈V に対して

v(f) = f(v) (f ∈V^∗)

によって、v : V^∗ →Rを定めると、v ∈ (V^∗)^∗とみなすことができ、この対応によって(V^∗)^∗とV を同一視することができる。δ_jⁱを

δⁱ_j = {

1, i=j 0, i̸=j

によって定める。V の基底{u₁, . . . , u_n}に対して、fⁱ(u_j) =δ_jⁱによって定まるV^∗ の元{fⁱ}はV^∗の基底になる。特にdimV^∗ = dimV となる。{fⁱ}を{uj}の双対基底と呼ぶ。

定義 1.1.2 p個の実ベクトル空間V₁, . . . , V_pの積V₁× · · · ×V_pから実ベクトル空間 W への写像F がV₁からV_pの各成分について線形写像になるとき、F を多重線形写像と呼ぶ。有限次元実ベクトル空間V に対して、

z }|p { V^∗× · · · ×V^∗×

z }|q { V × · · · ×V 上で定義されたp+q変数の実数値多重線形写像をV 上の(p, q)型テンソルと呼び、

その全体をT^(p,q)(V)で表す。T^(p,q)(V)を(p, q)型テンソル空間と呼ぶ。T^(p,q)(V) の元A, A^′と実数rに対して

(A+A^′)(g¹, . . . , g^p, v₁, . . . , v_q)

=A(g¹, . . . , g^p, v₁, . . . , v_q) +A^′(g¹, . . . , g^p, v₁, . . . , v_q), (rA)(g¹, . . . , g^p, v1, . . . , vq) =rA(g¹, . . . , g^p, v1, . . . , vq)

によってT^(p,q)(V)の加法とスカラー倍が定まる。この加法とスカラー倍によって

T^(p,q)(V)は実ベクトル空間になる。T^(p,q)(V)の元AとT^(r,s)(V)の元Bに対して、

(A⊗B)(g¹, . . . , g^p+r, v₁, . . . , v_q+s)

= A(g¹, . . . , g^p, v1, . . . , vq)B(g^p+1, . . . , g^p+r, vq+1, . . . , vq+s) (g¹, . . . , g^p+r ∈V^∗, v₁, . . . , v_q+s ∈V)

(5)

によって(p+r, q+s)型テンソルA⊗Bを定める。A⊗BをAとBのテンソル積と呼ぶ。T^(1,0)(V) = (V^∗)^∗ =V とみなし、T^(0,1)(V) = V^∗であることに注意する。V の元u₁, . . . , u_pとV^∗の元f¹, . . . , f^qに対して、

(u₁⊗ · · · ⊗u_p⊗f¹⊗ · · · ⊗f^q)(g¹, . . . , g^p, v₁, . . . , v_q)

= g¹(u1)· · ·g^p(up)f¹(v1)· · ·f^q(vq) (g¹, . . . , g^p ∈V^∗, v₁, . . . , v_q ∈V) によって写像

u₁⊗ · · · ⊗u_p⊗f¹⊗ · · · ⊗f^q :

z }|p { V^∗× · · · ×V^∗×

z }|q {

V × · · · ×V −→R は定まり、u1⊗ · · · ⊗u_p⊗f¹⊗ · · · ⊗f^qはV 上の(p, q)型テンソルになる。

命題 1.1.3 V を有限次元実ベクトル空間とすると、写像

T^(p,q)(V)×T^(r,s)(V) −→ T^(p+r,q+s)(V)

(A, B) 7−→ A⊗B

は双線形写像になり、写像 z }|p {

V × · · · ×V ×

z }|q {

V^∗ × · · · ×V^∗ −→ T^(p,q)(V)

(u₁, . . . , u_p, f¹, . . . , f^q) 7−→ u₁⊗ · · · ⊗u_p⊗f¹⊗ · · · ⊗f^q は多重線形写像になる。

定義 1.1.4 有限次元実ベクトル空間V に対して、

T(V) =

∑∞ p,q=0

T^(p,q)(V)

とおく。ただし、T^(0,0)(V) =Rとしておく。定義1.1.2で定めた双線形写像 T^(p,q)(V)×T^(r,s)(V) −→ T^(p+r,q+s)(V)

(A, B) 7−→ A⊗B

を、T(V)×T(V)全体の双線形写像に拡張し、これを二項演算としてT(V)は代数になる。T(V)をV 上のテンソル代数と呼ぶ。

命題 1.1.5 V をn次元実ベクトル空間とする。u₁, . . . , u_nをV の基底とし、f¹, . . . , fⁿ をその双対基底とする。すると、

u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q (1≤i₁, . . . , i_p, j₁, . . . , j_q ≤n)

はT^(p,q)(V)の基底になる。特に、T^(p,q)(V)の次元はn^p+qになる。

(6)

1.1. テンソル代数 3 証明まずu_i₁⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹⊗ · · · ⊗f^j^q (1≤i₁, . . . , i_p, j₁, . . . , j_q ≤n)が線形独立になることを示す。

∑n

i1,...,ip=1 j1,...,jq=1

aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jqu_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q = 0 (aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jq ∈R)

とする。1≤k₁, . . . , k_p, l₁, . . . , l_q ≤nとなるk₁, . . . , k_p, l₁, . . . , l_qをとり、

(f^k¹, . . . , f^k^p, u_l₁, . . . , u_l_q) を上の式に代入するとa^k_l¹^···^k^p

1···lq = 0となる。したがってu_i₁⊗· · ·⊗u_i_p⊗f^j¹⊗· · ·⊗f^j^q は線形独立である。

次にu_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q (1≤ i₁, . . . , i_p, j₁, . . . , j_q ≤ n) はT^(p,q)(V) を生成することを示す。T^(p,q)(V)の元Aを任意に一つとる。V の元vに対して

v =

∑n j=1

f^j(v)uj

となり、V^∗の元gに対して

g =

∑n i=1

g(u_i)fⁱ となる。g¹, . . . , g^p ∈V^∗とv₁, . . . , v_q ∈V に対して

A(g¹, . . . , g^p, v₁, . . . , v_q)

= A



∑ⁿ

i1=1

g¹(ui1)fⁱ¹, . . . ,

∑n ip=1

g^p(uip)fⁱ^p,

∑n j1=1

f^j¹(v1)uj1, . . . ,

∑n jq=1

f^j^q(vq)ujq





=

∑n

i1,...,ip=1 j1,...,jq=1

g¹(ui1)· · ·g^p(uip)f^j¹(v1)· · ·f^j^q(vq)A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, uj1, . . . , ujq)

=

∑n

i1,...,ip=1 j1,...,jq=1

A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, uj1, . . . , ujq)

×(u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p ⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q)(g¹, . . . , g^p, v₁, . . . , v_q).

よって、

A=

∑n

i1,...,ip=1 j1,...,jq=1

A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, u_j₁, . . . , u_j_q)u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q

が成り立つ。したがってu_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q はT^(p,q)(V)を生成する。

(7)

以上で

はT^(p,q)(V)の基底になることがわかった。このことから、T^(p,q)(V)の次元はn^p+q

になることもわかる。

定義 1.1.6 命題1.1.5の証明中にあるT^(p,q)V の元Aの基底による表示 A=

∑n

i1,...,ip=1 j1,...,jq=1

A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, u_j₁, . . . , u_j_q)u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p ⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q

をAの成分表示と呼び、A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, u_j₁, . . . , u_j_q)をAの成分と呼ぶ。

注意 1.1.7 上の成分表示のように、和∑

の後で同じ添え字が上下組になって現れ、添え字の動く範囲がわかっているときは、和の記号∑

を省略する。例えば、

上の場合は

A=A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, u_j₁, . . . , u_j_q)u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q

と書き表す。この表し方をEinsteinの規約という。考えている基底が定まっている場合には

Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jq =A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, u_j₁, . . . , u_j_q) と書くことにする。このとき、Aの成分表示は

A =Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_qui1 ⊗ · · · ⊗uip⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q となる。さらに、A= (Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_q)とも表す。

命題 1.1.8 V をn次元実ベクトル空間とする。u₁, . . . , u_nをV の基底とし、f¹, . . . , fⁿ をその双対基底とする。T^(p,q)(V)の元Aを

A =Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jqu_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q

と成分表示する。V のもう一つの基底u¯₁, . . . ,u¯_nとその双対基底f¯¹, . . . ,f¯ⁿをとり、

A= ¯A^k_l¹^···^k^p

1···lq u¯_k₁ ⊗ · · · ⊗u¯_k_p⊗f¯^l¹ ⊗ · · · ⊗f¯^l^q

と成分表示する。u₁, . . . , u_nからu¯₁, . . . ,u¯_nへの基底の変換行列をg = (g_kⁱ)で表し、

その逆行列をg¯= (¯g_j^l)で表す。すなわち、

¯

u_k=g_kⁱu_i, g¯ⁱ_kg^k_j =δ_jⁱ. このとき、

A¯^k_l¹^···^k^p

1···lq =Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jqg¯_i^k¹

1 · · ·¯g_i^k^p

pg_l^j¹

1 · · ·g_l^j^q

q

が成り立つ。

(8)

1.1. テンソル代数 5 命題 1.1.9 V を有限次元実ベクトル空間とし、V の基底u₁, . . . , u_nとその双対基底 f¹, . . . , fⁿをとっておく。T^(p,q)(V)の元A = (Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jq)とT^(r,s)(V)の元B = (B_l^k¹^···^k^r

1···ls ) のテンソル積A⊗Bの成分は、

(A⊗B)ⁱ_j¹^···ⁱ^p^k¹^···^k^r

1···jql1···ls =Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jqB_l^k¹^···^k^r

1···ls

で与えられる。

定義 1.1.10 V を有限次元実ベクトル空間とし、基底u₁, . . . , u_nとその双対基底 f¹, . . . , fⁿをとる。A ∈T^(p,q)(V)とする。1≤r ≤p, 1≤s≤qとなるr, sをとり、

写像

C^(r,s)A:

p−1

z }| { V^∗× · · · ×V^∗×

q−1

z }| { V × · · · ×V →R を

(C^(r,s)A)(g¹, . . . , g^p⁻¹, v₁, . . . , v_q₋₁)

=A(g¹, . . . , g^r⁻¹, fⁱ, g^r, . . . , g^p⁻¹, v₁, . . . , v_s₋₁, u_i, v_s, . . . , v_q₋₁)

によって定める。するとC^(r,s)A∈T^(p⁻^1,q⁻¹⁾(V)となる。C^(r,s)AをAの縮約と呼ぶ。

例 1.1.11 定義1.1.10においてp = q = 1の場合を考える。正確な詳しい議論は

例1.1.14で行うが、ここでは縮約の最初の例として簡単に述べておく。V の線形

変換の全体をEnd(V)で表す。A=Aⁱ_ju_i⊗f^j ∈T^(1,1)(V)にEnd(V)の元 v 7→Aⁱ_jf^j(v)ui

を対応させることにより、T^(1,1)(V)とEnd(V)は線形同型になる。これにより両者を同一視する。このとき、

C^(1,1)A=Aⁱ_ju_i(f^k)f^j(u_k) = A^k_k = trA.

すなわち、T^(1,1)(V)の元をEnd(V)の元と同一視すると、縮約C^(1,1)は線形変換の trに他ならない。縮約はtrの一般化になっている。

命題 1.1.12 定義1.1.10の縮約の定義は、V の基底のとり方に依存しない。また、

V の基底u₁, . . . , u_nとその双対基底f¹, . . . , fⁿに関する成分表示は (C^(r,s)A)ⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_q⁻₋¹₁ =Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^r_s⁻₋¹₁ⁱⁱ_ij^r_s^···_···ⁱ_j^p_q⁻₋¹₁

となる。

証明 u¯_k = g_kⁱu_iによって基底を変換すると、命題1.1.8または、その証明中に示したことより、双対基底は、f¯^l = ¯g^l_jf^jによって変換される。これを使うと縮約の定義は基底のとり方に依存しないことがわかる。

縮約の定義より次がわかる。

(C^(r,s)A)ⁱ_j¹₁^···_···jⁱ^p_q⁻₋¹₁ =Aⁱ_j¹₁^···_···jⁱ^r_s⁻₋¹₁ⁱⁱ_ij^r_s^···_···jⁱ^p_q⁻₋¹₁.

(9)

命題 1.1.13 V とW を有限次元実ベクトル空間とし、

ϕ:

z }|p { V × · · · ×V ×

z }|q { V^∗× · · · ×V^∗ →W を多重線形写像とする。このとき

Φ(v₁ ⊗ · · · ⊗v_p⊗g¹⊗ · · · ⊗g^q) =ϕ(v₁, . . . , v_p, g¹, . . . , g^q) (v_i ∈V, g^j ∈V^∗) を満たす線形写像

Φ :T^(p,q)(V)→W が唯一つ存在する。

証明命題1.1.5より、u1, . . . , u_nをV の基底とし、f¹, . . . , fⁿをその双対基底とすると、

はT^(p,q)(V)の基底になる。そこで、

Φ(u₁ ⊗ · · · ⊗u_p⊗f¹⊗ · · · ⊗f^q) = ϕ(u₁, . . . , u_p, f¹, . . . , f^q)

によってΦの基底上の値を定め、線形になるようにT^(p,q)(V)全体に拡張すると、

Φは命題の条件を満たす線形写像になる。Φの条件はT^(p,q)(V)の基底の像を定めているので、このようなΦは一意的である。

例 1.1.14 V を有限次元実ベクトル空間とし、写像ϕ:V ×V^∗ →End(V)を ϕ(u, f)(v) =f(v)u (u, v ∈V, f ∈V^∗)

によって定めると、ϕは双線形写像になる。命題1.1.13より、

Φ(u⊗f) =ϕ(u, f) (u∈V, f ∈V^∗) を満たす線形写像

Φ :T^(1,1)(V)→End(V)

が唯一つ存在する。V の基底u₁, . . . , u_nとその双対基底f¹, . . . , fⁿをとる。

Φ(u_i⊗f^j)(u_k) = ϕ(u_i, f^j)(u_k) = f^j(u_k)u_i =δ^j_ku_i

となるので、Φ(ui ⊗f^j)はu_j をu_i に写し、他のu_kを0に写す線形写像になる。

よって

{Φ(u_i⊗f^j)|1≤i, j ≤n}

(10)

1.2. ベクトル束 7 はEnd(V)の基底になる。さらに命題1.1.5より、ΦはT^(1,1)(V)の基底をEnd(V)の基底に写し、線形同型写像になる。この線形同型写像によって、T^(1,1)(V)とEnd(V) を同一視する。

A∈T^(1,1)(V)の成分をAⁱ_j とすると、A=Aⁱ_ju_i⊗f^jとなり、

Φ(A) = Aⁱ_jΦ(u_i⊗f^j).

よって、

Φ(A)u_k =Aⁱ_jΦ(u_i⊗f^j)u_k=Aⁱ_jδ_k^ju_i =Aⁱ_ku_i

となり、(Aⁱ_j)はΦ(A)の基底u1, . . . , unに関する行列表示になる。さらに、

C^(1,1)A=Aⁱ_i = tr(Φ(A))

となるので、C^(1,1)A= tr(Φ(A))が成り立つ。つまり、T^(1,1)(V)をEnd(V)と同一視すると、T^(1,1)(V)での縮約は線形写像のトレースになる。

命題 1.1.15 V とWを有限次元実ベクトル空間とし、F :V −→Wを線形写像とする。このとき次の条件を満たす線形写像

F^(p,0) :T^(p,0)(V)−→T^(p,0)(W) が唯一つ存在する。条件：任意のv₁, . . . , v_p ∈V に対して

F^(p,0)(v₁⊗ · · · ⊗v_p) =F(v₁)⊗ · · · ⊗F(v_p) が成り立つ。また次の条件を満たす線形写像

F^(0,q):T^(0,q)(W)−→T^(0,q)(V) が唯一つ存在する。条件：任意のg¹, . . . , g^p ∈W^∗に対して

F^(0,q)(g¹⊗ · · · ⊗g^q) = (g¹◦F)⊗ · · · ⊗(g^q◦F) が成り立つ。

1.2 ベクトル束

定義 1.2.1 π_E : E → M が次の条件を満たすとき、多様体M 上のベクトル束と呼ぶ。

(1) E, M は多様体であり、πE :E →M は多様体の間のC^∞級写像である。

(11)

(2) ある自然数kが存在し、M の各点pに対してpの開近傍U と微分同型写像 Φ_U :π⁻_E¹(U)→U ×R^k

が存在し、u∈π_E(U)に対してΦ_U(u)のU成分はπ_E(u)に一致し、

ΦU(u) = (πE(u), ϕU(u)) (u∈π⁻_E¹(U))

とおくと、x∈Uに対してπ_E⁻¹(x)はベクトル空間の構造を持ち、

ϕ_U|_π⁻¹

E (x) :π⁻_E¹(x)→R^k は線形同型写像になる。

Eをベクトル束の全空間、M を底空間、πEを射影、π⁻_E¹(x)をxのファイバーと呼ぶ。kをベクトル束の階数と呼び、rankEで表す。

定義 1.2.2 π :E →Mとπ^′ :E^′ →M^′を多様体M とM^′上のベクトル束とする。

x∈ Mに対してE_x = π⁻¹(x)、y ∈M^′に対してE_y^′ = (π^′)⁻¹(y)と表す。C^∞級写像Φ :E →E^′とϕ:M →M^′がπ◦π =π^′◦Φを満たし、各x∈M に対して

ϕ|Ex :Ex →E_ϕ(x)^′

が線形写像になるとき、Φをベクトル束の準同型写像と呼ぶ。Φ :E →E^′が微分同型写像になるとき、Φをベクトル束の同型写像と呼び、π:E →Mとπ^′ :E^′ →M^′ は同型であるという。V をベクトル空間とし、M ×V からM への射影を考えることによって、M ×V はM 上のベクトル束になる。M 上のEがM ×V と同型になるとき、Eを自明ベクトル束と呼ぶ。次の例で扱うMの接ベクトル束T Mが自明であるとき、Mは絶対平行性を持つという。

例 1.2.3 M を多様体とし、各x ∈ M におけるM の接ベクトル空間をTxM で表す。

T M = ∪

x∈M

T_xM

とおく。u ∈ T M に対してu ∈ TxM となるx ∈ Mが一つ定まるので、π(u) = x とおくと、写像

π :T M →M

が定まる。Mの各点pに対してpを含む座標近傍系(U;x¹, . . . , xⁿ)をとる。Uの各点xにおいて

∂

∂x¹

x

, . . . , ∂

∂xⁿ

x

(12)

1.2. ベクトル束 9 は接ベクトル空間T_xM の基底になるので、π⁻¹(U)の各元uは

u=ξⁱ ∂

∂xⁱ

π(u)

と表すことができ、

Φ_U(u) = (x¹(π(u)), . . . , xⁿ(π(u)), ξ¹, . . . , ξⁿ) (u∈π⁻¹(U)) によって、写像

ΦU :π⁻¹(U)→(x¹, . . . , xⁿ)(U)×Rⁿ

を定める。これによって、π⁻¹(U)上の座標(x¹, . . . , xⁿ, ξ¹, . . . , ξⁿ)をとることができ、T Mは多様体になる。さらに、πの定め方よりπ :T M →Mがベクトル束になることがわかる。これを多様体Mの接ベクトル束と呼ぶ。

定義 1.2.4 π_E :E →Mを多様体M上のベクトル束とする。C^∞級写像σ:M → Eでπ_E◦σ= 1_Mを満たすものを、ベクトル束Eの断面と呼ぶ。条件π_E◦σ= 1_M は、任意のx∈Mに対してσ(x)∈E_xが成り立つことと同値である。Eの断面の

全体をΓ(M, E)または単にΓ(E)で表す。接ベクトル束の断面は、ベクトル場とも

いう。

例 1.2.5 Γ(M ×R)はM 上のC^∞級関数全体とみなせ、ベクトル空間V に対してΓ(M ×V)はM 上のV に値を持つC^∞級関数全体とみなせる。

定義 1.2.6 多様体M の各点p∈Mの接ベクトル空間T_pM に内積⟨, ⟩pが定まっていて、任意のベクトル場X, Y ∈Γ(T M)に対して⟨X, Y⟩ ∈Γ(M×R)が成り立つとき、⟨, ⟩をM上のRiemann計量と呼び、(M,⟨, ⟩)をRiemann多様体と呼ぶ。Riemann多様体の接ベクトルの長さや角度は、Riemann計量によってEuclid 空間と同様に定める。

例 1.2.7 M =Rⁿとおくと、各点の接ベクトル空間T_xMは自然にRⁿと同一視でき、Rⁿの標準的な内積によって、MはRiemann多様体になる。

定義 1.2.8 ι:M →M˜ を多様体MからRiemann多様体( ˜M ,g)˜ への挿入とする。

すなわちMの各点xでのιの微分写像dι_x :T_xM →T_ι(x)M˜ が単射であるとする。

このとき、M˜ 上のRiemann計量g˜のdιによる引き戻しg =ι^∗g˜はM上のRiemann 計量になる。この(M, g)を( ˜M ,˜g)のRiemann部分多様体と呼ぶ。ただし、引き戻しι^∗˜gは

(ι^∗g)˜ _x(X, Y) = ˜g_ι(x)(dι_x(X), dι_x(Y)) (x∈M, X, Y ∈T_xM) によって定義される。

(13)

注意 1.2.9 曲線論や曲面論で扱っている曲線や曲面は、RやR²の開集合からR² やR³への挿入から定まるRiemann部分多様体を考察の対象にしている。

注意 1.2.10 定義1.2.8では、M˜ のRiemann計量からMのRiemann計量を誘導し

たが、MのRiemann計量を固定して議論する場合もある。そのときは、Riemann

多様体(M, g)から( ˜M ,g)˜ へのC^∞級写像ιが、Mの各点xに対してdι_x :T_xM → T_ι(x)M˜ は等長線形写像になるという条件をみたすとき、ιを等長的挿入と呼び、

(M, g)を( ˜M ,g)˜ のRiemann部分多様体と呼ぶ。

例 1.2.11 ι : M → ( ˜M ,g)˜ をRiemann多様体( ˜M ,g)˜ のRiemann部分多様体とする。

TM˜|M = ∪

x∈M

T_ι(x)M˜

によってTM˜|M を定めると、T Mのベクトル束の構造からTM˜|Mもベクトル束になることがわかる。各x∈M に対してdι_x(T_xM)はT_ι(x)M˜ の部分空間である。各 x∈Mに対して、

T_x^⊥M ={u∈T_ι(x)M˜ |g˜_ι(x)(u, dι_x(T_xM)) = 0} とおき、

T^⊥M = ∪

x∈M

T_x^⊥M

でT^⊥Mを定める。u ∈ T^⊥M に対してu ∈ T_x^⊥M となるx ∈ M が一つ定まるので、π(u) =xとおくと、写像

π :T^⊥M →M

が定まる。このとき、π : T^⊥M → M はベクトル束になる。π : T^⊥M → M を、

Riemann部分多様体M の法ベクトル束と呼ぶ。法ベクトル束T^⊥M の断面をM

上の法ベクトル場と呼ぶ。

定義 1.2.12 Eを多様体M上のベクトル束とする。⟨, ⟩はEの各ファイバーの内積を定めていて、Eの任意の断面s, tに対して

⟨s, t⟩(x) =⟨s(x), t(x)⟩ (x∈M)

によって定まるM上の関数⟨s, t⟩がC^∞級になるとき、⟨, ⟩をベクトル束Eの計量といい、(E,⟨, ⟩)を計量ベクトル束と呼ぶ。

例 1.2.13 定義1.2.6で定めた多様体のRiemann計量は、接ベクトル束の計量に他ならない。また、Riemann多様体のRiemann部分多様体の法ベクトル束にも、

全体のRiemann多様体の計量から自然に定まる計量が入る。

(14)

1.3. テンソル場 11

1.3 _{テンソル場}

定義 1.3.1 多様体Mの各点x∈Mの接ベクトル空間T_xM上の(p, q)型テンソル空間T^(p,q)(TxM)をTx^(p,q)M で表す。

T^(p,q)M = ∪

x∈M

T_x^(p,q)M

とおくと、T^(p,q)MはM上のベクトル束になる(命題1.3.2)。T^(p,q)Mの断面を(p, q) 型テンソル場と呼ぶ。テンソル場の和、関数倍、テンソル積、縮約は、多様体の各点の接ベクトル空間上のテンソル空間における演算で定める。

命題 1.3.2 T^(p,q)M はM上のベクトル束になる。

証明 u ∈ T^(p,q)M に対してu ∈ Tx^(p,q)M となるx ∈ M が一つ定まるので、

π(u) =xとおくと、写像π :T^(p,q)M →Mが定まる。M の各点xに対してxを含む座標近傍系(U;x¹, . . . , xⁿ)をとる。π⁻¹(U)の各元uは

u=uⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jq

∂

∂xⁱ¹

π(u)

⊗ · · · ⊗ ∂

∂xⁱ^p

π(u)

⊗dx^j_π(u)¹ ⊗ · · · ⊗dx^j_π(u)^q

と表すことができ、

Φ_U(u) = (π(u), uⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jq) (u∈π⁻¹(U)) によって、写像

Φ_U :π⁻¹(U)→U ×Rⁿ^p+q

を定める。これによって、π⁻¹(U)上の座標(x¹, . . . , xⁿ, uⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jq)をとることができる。これによって、T^(p,q)Mに多様体構造が定まり、さらにπ:T^(p,q)M →M にベクトル束の構造が定まる。

例 1.3.3 Riemann計量は(0,2)型テンソル場になる。

命題 1.3.4 f :M →Nを多様体の間のC^∞級写像とする。fはベクトル束の準同型写像df^(p,0) :T^(p,0)M →T^(p,0)N を誘導し、

df_x^(p,0)(v₁ ⊗ · · · ⊗v_p) =df_x(v₁)⊗ · · · ⊗df_x(v_p) (x∈M, v_i ∈T_xM) が成り立つ。

証明 x∈M におけるfの微分写像df_x :T_xM →T_f_(x)N は、命題1.1.15より、

テンソルの空間の線形写像dfx^(p,0) : Tx^(p,0)M → T_f(x)^(p,0)N を誘導する。これにより、

df^(p,0) : T^(p,0)M → T^(p,0)N が定まる。多様体の局所座標を使ってdf^(p,0)がC^∞級

写像であることもわかり、ベクトル束の準同型写像になることがわかる。

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微分幾何学

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Riemann 幾何学

田崎博之

2018

目 次

第 1 章 テンソル場

1.1 テンソル代数

1.2 ベクトル束

1.3 テンソル場

目次

第 1 _{章テンソル場}

1.1 _{テンソル代数}

1.3 _{テンソル場}